题目内容

设函数f（x）=asin2x-bsin2x+c（x∈R）的图象过点P（0，1），且f（x）的最大值是2，最小值为-2，其中a＞0．
（1）求f（x）表达式；
（2）若射线y=2（x≥0）与f（x）图象交点的横坐标，由小到大依次为x1，x2，x3，…，xn，…求|xn+2-x2|的值，并求S=x1+x2+…+x10的值．
分析：（1）由f（0）=1可求c值，f（x）可化为f（x）=
a2+
1
4
b2
sin(2x+?)+1-
b
2
，从而可得其最大值、最小值，分别令其为2，-2可得方程组，解出a，b即可；
（2）易知f（xn）=2（n∈N+），可得2xn+
π
6
=2kπ+
π
2
(k≥0，k∈Z)，从而求得xn，可判断该数列为等差数列，从而可得答案；
解答：解：（1）∵f（0）=1，∴c=1，
∴f(x)=asin2x-
b
2
(1-cos2x)+1=
a2+
1
4
b2
sin(2x+?)+1-
b
2
，
∴
a2+
1
4
b2
+1-
b
2
=2
-
a2+
1
4
b2
+1-
b
2
=-2
而a＞0，解得
a=
3
b=2
，
∴f(x)=
3
sin2x+cos2x=2sin(2x+
π
6
)；
（2）由题意，知f（xn）=2（n∈N+），即2xn+
π
6
=2kπ+
π
2
(k≥0，k∈Z)，
∴xn=kπ+
π
6
(k=0，1，2…)，所以{xn}是以x1=
π
6
，公差d=π的等差数列，
∴|xn+2-x2|=nπ，S=x1+x2+…+x10=
x1+x10
2
•10=5(
π
6
+9π+
π
6
)=
140
3
π．
点评：本题考查三角函数与数列的综合，考查等差数列的通项公式及前n项和公式，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{an}满足f（an+1）=
1f(-2-an)
（n∈N*）
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，a n＞f（0）恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．
设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{an}满足f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N*)．
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，an＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若a1=f（0），不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
＞
12
35
(1+logf(1)x)对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．
设函数f（x）=
3x-1
x+1
．
（1）已知s=-t+
1
2
（t＞1），求证：f（
t-1
t
）=
s+1
s
；
（2）证明：存在函数t=φ（s）=as+b（s＞0），满足f（
s+1
s
）=
t-1
t
；
（3）设x1=
11
17
，xn+1=f（xn），n=1，2，…．问：数列{
1
xn-1
}是否为等差数列？若是，求出数列{xn}中最大项的值；若不是，请说明理由．
设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{an}满足f（an+1）=（n∈N*）
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，a n＞f（0）恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．
设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{an}满足．
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，an＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若a1=f（0），不等式对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．

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