Question

设椭圆C的左顶点A在抛物线y²=x-1上滑动，长轴长为4，左准线为y轴．
（1）求椭圆中心的轨迹方程；
（2）求椭圆离心率的最大值及此时椭圆的方程．

Answer 1

解：（1）设椭圆的中心为C（x，y），左顶点为A（x₀，y₀）
∵A在抛物线上
∴ ①
∵椭圆长轴长为4，左准线为y轴．
∴x₀=x-2，y₀=y
代入①得y²=x-3即为所求轨迹方程．
（2）∵椭圆中心到准线的距离为，椭圆的中心为C（x，y），左准线为y轴
∴
∵a=2，
∴
∴
∵x≥3
∴当x=3时，
中心为C（3，0），
∴
∴椭圆的方程为：
分析：（1）椭圆的中心为C（x，y），左顶点为A（x₀，y₀），根据A在抛物线y²=x-1上滑动，可得方程，再利用
长轴长为4，左准线为y轴，可得坐标之间的关系，从而求出椭圆中心的轨迹方程；
（2）根据准线方程及长轴长为4，可得离心率，由于x≥3，故可求离心率的最大值，从而可得椭圆方程．
点评：本题以抛物线为载体，考查椭圆方程，考查代入法求轨迹方程，解题的关键是寻求动点坐标之间的关系．