Question

设椭圆C的左顶点A在抛物线y²=x-1上滑动，长轴长为4，左准线为y轴．
（1）求椭圆中心的轨迹方程；
（2）求椭圆离心率的最大值及此时椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）椭圆的中心为C（x，y），左顶点为A（x₀，y₀），根据A在抛物线y²=x-1上滑动，可得方程

y

2 0

=x0-1，再利用
长轴长为4，左准线为y轴，可得坐标之间的关系，从而求出椭圆中心的轨迹方程；
（2）根据准线方程及长轴长为4，可得离心率，由于x≥3，故可求离心率的最大值，从而可得椭圆方程．

解答：解：（1）设椭圆的中心为C（x，y），左顶点为A（x₀，y₀）
∵A在抛物线上
∴

y

2 0

=x0-1 ①
∵椭圆长轴长为4，左准线为y轴．
∴x₀=x-2，y₀=y
代入①得y²=x-3即为所求轨迹方程．
（2）∵椭圆中心到准线的距离为

a2

c

，椭圆的中心为C（x，y），左准线为y轴
∴

a2

c

=x
∵a=2，
∴c=

4

x

∴e=

c

a

=

1

x

∵x≥3
∴当x=3时，emax=

1

3

中心为C（3，0），c=

4

3

∴b2=

20

9

∴椭圆的方程为：

(x-3)2

4

+

9y2

20

=1

点评：本题以抛物线为载体，考查椭圆方程，考查代入法求轨迹方程，解题的关键是寻求动点坐标之间的关系．