Question

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB₁=

3

BB₁．
（1）求证：AB₁⊥BC₁；
（2）求二面角A-BC₁-C的正切值．

Answer 1

分析：（1）法一：取BC的中点M，连接B₁M、BC₁交于N，推出△B₁MB∽△B₁BN证明BC₁⊥B₁M，即可证明AB₁⊥BC₁；
法二：如图，取B₁C₁和B₁B的中点E与D，连接ED，再取AB的中点G，说明∠GDE为异面直线AB₁、BC₁所成的角，
利用勾股定理证明垂直即可．
（2）连接AN，则∠ANM为所求二面角的平面角，直接求出二面角A-BC₁-C的正切值．

解答：（1）证法一：如图，取BC的中点M，
连接B₁M、BC₁交于N，则AM⊥面BC₁．
下证BC₁⊥B₁M．设BB₁=1，则AB₁=

3

，AB=BC=

2

，
∴tan∠B₁MB=

2

=tan∠B₁BC₁．
∴得△B₁MB∽△B₁BN．
∴∠B₁BM=90°=∠B₁NB，即BC₁⊥B₁M．
∴BC₁⊥斜线AB₁．
证法二：如图，取B₁C₁和B₁B的中点E与D，
连接ED，则DE∥BC₁．再取AB的中点G，
连接DG，则DG∥AB₁，
∴∠GDE为异面直线AB₁、BC₁所成的角．
下用勾股定理证明∠GDE为直角．取A₁B₁的中点F，
连接EF、EG、FG，则EG=

EF2+FG2

且DE、DG均可表示出．
故可知EG²=DE²+DG²，∴∠GDE=90°．
（2）解：连接AN，则∠ANM为所求二面角的平面角，tan∠ANM=3．

点评：本题（1）证法一中可把面BB₁C₁C单独拿出作成平面图形，则易于观察△B₁MB与△B₁NB的相似关系．证法二的特点是思路较好．因为所证为两异面直线，作出其所成角为一般方法．考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．