题目内容
（2013•莱芜二模）已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=| 3 |
（I）当AE：EA1=1：2时，求证DE⊥BC1；
（Ⅱ）是否存在点E，使二面角D-BE-A等于60°若存在求AE的长；若不存在，请说明理由．
分析：（Ⅰ）由D为正三角形ABC的中点，得到BD⊥AC，再由两面垂直的性质得到BD⊥面ACC1A1，继而BD⊥DE，在平面ACC1A1中利用解三角形求出∠ADE与∠CDC1的值，从而得到ED⊥DC1，则由ED⊥面BDC1，则DE⊥BC1；
（Ⅱ）假设存在点E，使二面角D-BE-A等于60°，设出AE的长度，利用二面角的两个半平面的法向量所成角为60°求出h的值，若h的值在[0，
]内则说明点E存在，否则不存在．
（Ⅱ）假设存在点E，使二面角D-BE-A等于60°，设出AE的长度，利用二面角的两个半平面的法向量所成角为60°求出h的值，若h的值在[0，
| 3 |
解答：解：（Ⅰ）证明：如图，
连结DC1，因为ABC-A1B1C1为正三棱柱，所以△ABC为正三角形，
又因为D为AC的中点，所以BD⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥DE．
因为AE：EA1=1：2，AB=1，AA1=
，所以AE=
，AD=1，
所以在Rt△ADE中，∠ADE=30°，在Rt△DCC1中，∠C1DC=60°，
所以∠EDC1=90°，即ED⊥DC1，
所以ED⊥平面BDC1，又BC1?面BDC1，所以ED⊥BC1．
（Ⅱ）解：存在点E，使二面角D-BE-A等于60°．
事实上，假设存在点E满足条件，设AE=h．
取A1C1的中点D1，连结DD1，则DD1⊥平面ABC，所以DD1⊥AD，DD1⊥BD，
分别以DA、DB、DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，
则A（1，0，0），B（0，
，0），E（1，0，h），
所以
=(0，
，0)，
=(1，0，h)，
=(-1，
，0)，
=(0，0，h)．
设平面DBE的一个法向量为
=(x1，y1，z1)，
则
，
，令z1=1，得x1=-h，所以
=(-h，0，1)，
再设平面ABE的一个法向量为
=(x2，y2，z2)，
则
，
，令y2=1，得x2=
，所以
=(
，1，0)．
所以cos＜
，
＞=
=cos60°=
．解得h=
＜
．
故存在点E，当AE=
时，二面角D-BE-A等于60°．
连结DC1，因为ABC-A1B1C1为正三棱柱，所以△ABC为正三角形，
又因为D为AC的中点，所以BD⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥DE．
因为AE：EA1=1：2，AB=1，AA1=
| 3 |
| ||
| 3 |
所以在Rt△ADE中，∠ADE=30°，在Rt△DCC1中，∠C1DC=60°，
所以∠EDC1=90°，即ED⊥DC1，
所以ED⊥平面BDC1，又BC1?面BDC1，所以ED⊥BC1．
（Ⅱ）解：存在点E，使二面角D-BE-A等于60°．
事实上，假设存在点E满足条件，设AE=h．
取A1C1的中点D1，连结DD1，则DD1⊥平面ABC，所以DD1⊥AD，DD1⊥BD，
分别以DA、DB、DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，
则A（1，0，0），B（0，
| 3 |
所以
| DB |
| 3 |
| DE |
| AB |
| 3 |
| AE |
设平面DBE的一个法向量为
| n1 |
则
|
|
| n1 |
再设平面ABE的一个法向量为
| n2 |
则
|
|
| 3 |
| n2 |
| 3 |
所以cos＜
| n1 |
| n2 |
|-
| ||
|
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
故存在点E，当AE=
| ||
| 2 |
点评：本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角及其求法，训练了存在性问题的求解方法，对于存在性问题，在假设结论成立的前提下进行推理，得到与已知的条件，公理、定理等相符的式子，则假设成立，否则不成立．此题是中档题．
练习册系列答案
名校课堂系列答案
相关题目