Question

如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E在AB₁上，F在BD上，且B₁E＝BF．

求证：EF∥平面BB₁C₁C．

Answer 1

答案：
解析：

证法一：连AF延长交BC于M，连结B1M． 　　∵AD∥BC 　　∴△AFD∽△MFB 　　∴ 　　又∵BD＝B1A，B1E＝BF 　　∴DF＝AE 　　∴ 　　∴EF∥B1M，B1M平面BB1C1C 　　∴EF∥平面BB1C1C． 　　证法二：作FH∥AD交AB于H，连结HE 　　∵AD∥BC 　　∴FH∥BC，BCBB1C1C 　　∴FH∥平面BB1C1C 　　由FH∥AD可得 　　又BF＝B1E，BD＝AB1 　　∴ 　　∴EH∥B1B，B1B平面BB1C1C 　　∴EH∥平面BB1C1C， 　　EH∩FH＝H 　　∴平面FHE∥平面BB1C1C 　　EF平面FHE 　　∴EF∥平面BB1C1C 　　说明：证法一用了证线面平行，先证线线平行．证法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内．