题目内容

O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OP
=
OA
+λ(
AB
+
AC
)，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的
 
心．
分析：设出BC的中点D，由
OP
=
OA
+λ(
AB
+
AC
)，可以转化为
OP
-
OA
=λ(
AB
+
AC
)，即
AP
=λ(
AB
+
AC
)=2λ
AD
，从而得到
AP
∥
AD
，得到答案．
解答：解：设BC中点为D，则AD为△ABC中BC边上的中线 且
AB
+
AC
=2
AD

∵
OP
=
OA
+λ(
AB
+
AC
)，
∴
OP
-
OA
=λ(
AB
+
AC
)∴
AP
=λ(
AB
+
AC
)=2λ
AD

AP
∥
AD
∴A、P、D三点共线
所以点P一定过△ABC的重心．
故答案为：重．
点评：本题主要考查平面向量的基本定理和向量的共线定理．属中档题．
练习册系列答案
相关题目
O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OP
=
OA
+λ(
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
)，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（　　）
A、外心B、内心C、重心D、垂心
O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OP
=
OA
+λ(
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
)，λ∈[0，+∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的
 
心．
已知O是平面上一定点，A﹑B﹑C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OP
=
OA
+λ（
AB
|
AB
|sinB
+
AC
|
AC
| sinC
）λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（　　）
A、外心B、内心C、重心D、垂心
O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OP
=
OA
+λ(
AB
+
AC
)，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（　　）
A、外心B、垂心C、内心D、重心

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