题目内容
（2012•黔东南州一模）数列{an}中，a1=-2，an+1=3an+2n+6，bn=an+2n+3(n∈N*)．
（Ⅰ）证明：数列{bn}是等比数列，并求an；
（Ⅱ）求数列{
}的前n项和Sn．
（Ⅰ）证明：数列{bn}是等比数列，并求an；
（Ⅱ）求数列{
| an | bn |
分析：（Ⅰ）要证明{bn}是等比数列，只要证明
为常数即可，然后由等比数列的通项公式可求bn，进而可求an
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求
，利用分组求和，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求
| bn+1 |
| bn |
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求
| an |
| bn |
解答：（Ⅰ）证明：由题意可得，
=
=
=
=3…（3分）
又b1=3，知{bn}是以3为首项、3为公比的等比数列 …（4分）
∴bn=3n即an+2n+3=3n
∴an=3n-2n-3…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
=
=1-(
)n-(
)n-1…（8分）
故Sn=
+
+…+
=n-
-
…（10分）
=n+2×(
)n+
×(
)n-
． …（12分）
| bn+1 |
| bn |
| an+1+2n+1+3 |
| an+2n+3 |
| 3an+2n+2m+1+9 |
| an+2n+3 |
| 3(an+2n+3) |
| an+2n+3 |
又b1=3，知{bn}是以3为首项、3为公比的等比数列 …（4分）
∴bn=3n即an+2n+3=3n
∴an=3n-2n-3…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
| an |
| bn |
| 3n-2n-3 |
| 3n |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
故Sn=
| a1 |
| b1 |
| a2 |
| b2 |
| an |
| bn |
| ||||
1-
|
1-(
| ||
1-
|
=n+2×(
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 7 |
| 2 |
点评：本题主要考查了等比数列的定义及通项公式的应用，等比数列与等差数列的求和公式的应用，分组求和方法等知识的综合应用
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