Question

（2013•闸北区一模）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx），x∈R．
（1）请指出函数f（x）的奇偶性，并给予证明；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先化简函数得出f(x)=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

的表达式，通过f（-

π

8

）≠±f（-

π

8

），直接证明即可．
（2）先得出

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，然后根据正弦函数的单调性求出取值范围．

解答：解：f(x)=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

（3分）
（1）∵f(-

π

8

)=

1

2

≠±

2 +1

2

=±f(

π

8

)，∴f（x）是非奇非偶函数．    （3分）
注：本题可分别证明非奇或非偶函数，如∵f（0）=1≠0，∴f（x）不是奇函数．
（2）由x∈[0，

π

2

]，得

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，-

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1．     （4分）
所以0≤

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

≤

2 +1

2

．即f(x)∈[0，

2 +1

2

]．          （2分）

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的奇偶性的判断，考查计算能力．