Question

（2013•德州二模）各项均为正数的等比数列{a_n}中，已知a₁=2，a₅=512，T_n是数列{log₂a_n}的前n项和．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求T_n；
（Ⅲ）求满足(1-

1

T2

)(1-

1

T3

)…(1-

1

Tn

)＞

1011

2013

的最大正整数n的值．

Answer 1

分析：（I）利用等比数列的通项公式，求出公比，写出通项公式即可；
（II）先求数列{b_n}的通项公式，证明其为等差数列，再利用等差数列的前n项和公式计算S_n即可；
（III）利用（II）的结论，可得

n+1

2n

＞

1011

2013

，即可得出结论．

解答：解：（1）设公比为q，依题意，2×q⁴=512
∵数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，
∴q=4
∴∴a_n=2×4^n-1=2^2n-1；
（II）由（I）得b_n=log₂a_n=log₂（2^2n-1）=2n-1
∴数列{b_n}为首项为1，公差为2的等差数列
∴T_n=

n(1+2n-1)

2

=n²；
（III）(1-

1

T2

)(1-

1

T3

)…(1-

1

Tn

)=

22-1

22

•

32-1

32

•…•

n2-1

n2

=

1•3•2•4•3•5…•(n-1)(n+1)

22•32•…•n2

=

n+1

2n

令

n+1

2n

＞

1011

2013

∴n＜223

2

3

∴满足(1-

1

T2

)(1-

1

T3

)…(1-

1

Tn

)＞

1011

2013

的最大正整数n的值为223．

点评：本题考查了等比数列和等差数列的定义及其通项公式的运用，等差数列的前n项和公式及其运用，考查数列与不等式的结合，属于中档题．