Question

已知方程x²+y²-2mx+2my-2=0表示的曲线恒过第三象限的一个定点A，若点A又在直线l：mx+ny+1=0上，则当正数m，n的乘积取得最大值时直线l的方程是________．

Answer 1

x+y+2=0
分析：先根据方程x²+y²-2mx+2my-2=0，确定第三象限的定点A的坐标，代入直线l：mx+ny+1=0上，利用基本不等式，可求正数m，n的乘积的最大值，故可求直线方程．
解答：∵方程x²+y²-2mx+2my-2=0
∴x²+y²-2-2m（x-y）=0
解方程组
得或
∵A在第三象限
∴A（-1，-1）
∵点A在直线l：mx+ny+1=0
∴m+n=1
∵m＞0，n＞0
∴
当且仅当m=n=时，正数m，n的乘积取得最大值
∴直线l：mx+ny+1=0为直线l：x+y+2=0
故答案为：x+y+2=0
点评：本题以圆的方程为载体，考查定点问题，考查基本不等式的运用，解题的关键是根据圆的方程确定定点的坐标．