Question

已知实数a，b∈R⁺，a+b=1，M=2^a+2^b，则M的整数部分是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：由a，b∈R⁺，a+b=1，M=2^a+2^b，可将M=2^a+2^b，转化为：M=2^a+，根据a∈（0，1）可求得M的取值范围，从而可求得M的整数部分，继而得到答案．
解答：解：∵a，b∈R⁺，a+b=1，
∴b=1-a，
∴M=2^a+2^b=，2^a+，a∈（0，1）
令t=2^a，a∈（0，1），则t∈（1，2），M=t+，t∈（1，2）．
∵M=t+在（1，]上单调递减，在[，2）上单调递增，
∴M_min=+=2，当t=1或t=2，M=3，
∴2≤M＜3．
故选B．
点评：本题考查函数的单调性与最值，难点在于对“双钩函数M=t+（由于t∈（1，2），在这里是“单钩“）”性质的掌握与应用，属于中档题．