Question

已知实数a，b∈R，且2b²+a≤0，则a-b的最大值为

1

8

．

Answer 1

分析：作出不等式2b²+a≤0的平面区域，表示为抛物线的内部，然后设z=a-b，利用数形结合进行求解．

解答：解：设z=a-b，则b=a-z，
则不等式2b²+a≤0表示的平面区域为抛物线的内部．
平移直线b=a-z，由图象平移可知，当直线b=a-z与抛物线2b²+a=0，相切时，直线b=a-z截距最小，此时z最大．
将b=a-z和2b²+a=0，联立消去a得，2b²+b+z=0，
如直线与抛物线相切，则判别式△=1-4×2z=0，解得z=

1

8

．
故a-b的最大值为为

1

8

．
故答案为：

1

8

．

点评：本题主要考查直线和抛物线的位置关系的应用，将不等式转化为直线和抛物线相切是解决本题的关键，综合性较强．