Question

【题目】已知函数，其中.

（1）函数的图象能否与轴相切?若能，求出实数，若不能，请说明理由；

（2）讨论函数的单调性.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】分析：第一问首先对函数求导，之后设出切点坐标，应用切线的斜率等于零以及对应点处的函数值等于零，得到方程组无解，说明没有满足条件的点，从而得到结论；对于第二问，求出函数的导函数，结合其导数的符号，来确定函数在相应区间上的单调性.

详解：（1）由于.

假设函数的图象与轴相切于点，

则有，即.

显然，将代入方程中，

得.显然此方程无解.

故无论取何值，函数的图象都不能与轴相切.

（2）由于，

当时，，当时，，递增，

当时，，递减；

当时，由得或，

①当时，，

当时，，递增，

当时，，递减，

当，，递增；

②当时，，递增；

③当时，，

当时，，递增，

当时，，递减，

当时，，递增.

综上，当时，在上是减函数，在上是增函数；

当时，在上是增函数，在上是减函数；

当时，在上是增函数；

当时，在上是增函数，在上是减函数.