Question

（本题满分14分）

如图，酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8 cm .上口宽6cm , 水以20 cm³/s的流量倒入杯中，当水深为4 cm时，求水升高的瞬时变化率.

 

 

Answer 1

【答案】

解法一：设时刻t s时，杯中水的体积为Vcm³,水面半径为r cm, 水深为h cm.

则                                     2分

   5分

                7分

记水升高的瞬时变化率为（即当无限趋近于0时，无限趋近于）

从而有，当h=4时，解得   12分

答：当水深为4 cm时，水升高的瞬时变化率为。         14分

解法二：仿解法一，可得，即      4分

    5分

当无限趋近于0时，无限趋近于,即无限趋近于   12分

当h=4时,水升高的瞬时变化率是.                                14分

解法三：水面高为4 cm时，可求得水面半径为，设水面高度增加时，水的体积增加，从而,(用圆柱近似增加的水体积) ,              8分

故.当无限趋近于0时得                   10分

即                                                     12分

答：当水深为4 cm时，水升高的瞬时变化率为。                 14分

解法四：设t 时刻时注入杯中的水的高度为 h ,杯中水面为圆形，其圆半径为r      1分

如图被子的轴截面为等腰三角形ABC,AO₁O为底边BC上的高，O₁,O 分别为DE，BC中点，

容易求证∽，那么           2分

时刻时杯中水的容积为V=     3分

又因为V=20t,                                 4分

则    即           6分

                            8分

当h=4 时，设t=t₁,

由三角形形似的，               9分

那么              10分

      12分

答:当水高为4 cm时，水升高的瞬时变化率为cm/s                   14分

 

【解析】略