题目内容
某工厂2010年第一季度生产的A、B、C、D四种型号的产品产量用条形图表示如图，现用分层抽样的方法从中选取50件样品参加四月份的一个展销会：（1）问A、B、C、D型号的产品各抽取多少件？
（2）从50件样品随机的抽取2件，求这2件产品恰好是不同型号产品的概率；
（3）从A、C型号的产品中随机的抽取3件，用ξ表示抽取A种型号的产品件数，求ξ的分布列和数学期望．
分析：（1）根据分层抽样的方法，按比例抽取，依据比例关系算出各类型中应取的件数．
（2）本题属于古典概率模型的问题，由计数原理算出总的基本事件数与2件产品恰好是不同型号产品这个事件所包含的基本事件数，由古典概率模型公式求出概率．
（3）先求出ξ的分布列，再由公式算出其数学期望值，ξ的值可取0，1，2，3四个数，依次算出相应的概率列出分布列，再求期望．
（2）本题属于古典概率模型的问题，由计数原理算出总的基本事件数与2件产品恰好是不同型号产品这个事件所包含的基本事件数，由古典概率模型公式求出概率．
（3）先求出ξ的分布列，再由公式算出其数学期望值，ξ的值可取0，1，2，3四个数，依次算出相应的概率列出分布列，再求期望．
解答：解：（1）从条表图上可知，共生产产品有50+100+150+200=500（件），
样品比为
=
所以A、B、C、D四种型号的产品分别取
×100=10，
×200=20，
×50=5，
×150=15
即样本中应抽取A产品10件，B产品20件，C产品5件，D产品15件．（3分）
（2）从50件产品中任取2件共有C502=1225种方法，
2件恰为同一产品的方法数为C102+C202+C52+C152=350种，
所以2件恰好为不同型号的产品的概率为1-
=
．（6分）
（3）P(ξ=0)=
=
P(ξ=1)=
=
P(ξ=2)=
=
P(ξ=3)=
=
（10分）
所以ξ的分布列为
Eξ=
+2×
+3×
=2．（12分）
样品比为
| 50 |
| 500 |
| 1 |
| 10 |
所以A、B、C、D四种型号的产品分别取
| 1 |
| 10 |
| 1 |
| 10 |
| 1 |
| 10 |
| 1 |
| 10 |
即样本中应抽取A产品10件，B产品20件，C产品5件，D产品15件．（3分）
（2）从50件产品中任取2件共有C502=1225种方法，
2件恰为同一产品的方法数为C102+C202+C52+C152=350种，
所以2件恰好为不同型号的产品的概率为1-
| 350 |
| 1225 |
| 5 |
| 7 |
（3）P(ξ=0)=
| ||
|
| 2 |
| 91 |
| ||||
|
| 20 |
| 91 |
| ||||
|
| 45 |
| 91 |
| ||
|
| 24 |
| 91 |
所以ξ的分布列为
Eξ=
| 20 |
| 91 |
| 45 |
| 91 |
| 24 |
| 91 |
点评：本题考点是离散型随机变量的期望与方差，涉及到了条形图的理解，古典概率模型求概率，求分布列与方差，本题涉及知识点较多，综合性较强．
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