Question

如图,在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,∠ACB=90°,CB=1,CA=, AA₁=,M为侧棱CC₁上一点,AM⊥BA₁.

(1)求证:AM⊥平面A₁BC;

(2)求二面角B-AM-C的大小;

(3)求点C到平面ABM的距离.

(文)如图,在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,∠ACB=90°,CB=1,CA=, AA₁=,M为侧棱CC₁上一点,AM⊥A₁C.

(1)求异面直线A₁B与AC所成的角的余弦值;

(2)求证:AM⊥平面A₁BC;

(3)求二面角M-AB-C的正切值.

Answer 1

解法一：(1)证明:在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,易知面ACC₁A₁⊥面ABC,

∵∠ACB=90°,

∴BC⊥面ACC₁A₁.                                                       

∵AM面ACC₁A₁,∴BC⊥AM.

∵AM⊥BA₁,且BC∩BA₁=B,

∴AM⊥平面A₁BC.                                                       

(2)解:设AM与A₁C的交点为O,连结BO,

由(1)可知AM⊥OB,且AM⊥OC,

∴∠BOC为二面角B-AM-C的平面角.                                       

在Rt△ACM和Rt△A₁AC中,∠OAC+∠ACO=90°,

∴∠AA₁C=∠MAC.

∴Rt△ACM∽Rt△A₁AC.

∴AC²=MC·AA₁.

∴MC=.                                                           

∴在Rt△ACM中,AM=.

∵AC·MC=AM·CO,

∴CO=1.

∴在Rt△BCO中,tan∠BOC==1.

∴∠BOC=45°,

故所求二面角的大小为45°.                                            

(3)解:设点C到平面ABM的距离为h,易知BO=,

可知S_△ABM=·AM·BO=××=.                                

∵V_C-ABM=V_M-ABC,                                                       

∴hS_△ABM=MC·S_△ABC.

∴h=.

∴点C到平面ABM的距离为.                                         

解法二：(1)同解法一.                                                    

(2)如图以C为原点,CA、CB、CC₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,

则A(,0,0),A₁(,0,),B(0,1,0),

设M(0,0,z₁),

∵AM⊥BA₁,

∴=0,

即-3+0+z₁=0,

故z₁=.

∴M(0,0,).                                                              

设向量m=(x,y,z)为平面AMB的法向量,

则m⊥,m⊥,

则

即

令x=1,平面AMB的一个法向量为m=(1,,),                               

显然向量是平面AMC的一个法向量,

cos〈m,〉=.

易知,m与所夹的角等于二面角B-AM-C的大小,故所求二面角的大小为45°.     

(3)所求距离为,

即点C到平面ABM的距离为.                                            

(文)解法一：(1)在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,

AC∥A₁C₁,∴∠BA₁C₁是异面直线A₁B与AC所成的角.                            

连结BC₁,

∵CC₁⊥平面A₁B₁C₁,

∴CC₁⊥A₁C₁.

又∠A₁C₁B₁=∠ACB=90°,即A₁C₁⊥B₁C₁,

∴A₁C₁⊥平面BB₁C₁C.

∵BC₁平面BB₁C₁C,

∴A₁C₁⊥BC₁.

在Rt△BCC₁中,BC=1,CC₁=AA₁=,

∴BC₁=.

在Rt△A₁BC₁中,A₁C₁=,BC₁=,

∴A₁B=.

∴cos∠BA₁C₁=.                                                

(2)证明:由(1)可知BC⊥AC,BC⊥CC₁,

∴BC⊥平面ACC₁A₁.

又AM平面ACC₁A₁,则BC⊥AM.

∵AM⊥A₁C,

∴AM⊥平面A₁BC.                                                          

(3)在△ABC中,作AB边上的高CH,垂足为H,连结MH,显然CH是MH在平面ABC上的射影.

∴MH⊥AB.

∴∠MHC是二面角M-AB-C的平面角.                                        

∵AM⊥A₁C,

∴∠MAC=∠AA₁C,则tan∠MAC=tan∠AA₁C,

即.

又AA₁=,AC=,

∴MC=.

又CH=,

故在Rt△MCH中,

tan∠MHC=.                                               

解法二：(1)如图,以C为原点,CA、CB、CC₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(,0,0),A₁(,0,),B(0,1,0),

∴=(,1,),=(,0,0).                                     

设异面直线A₁B与AC所成的角为θ₁,则

cosθ₁=.                                       

(2)同解法一.                                                            

(3)设M(0,0,z₁),

∵AM⊥A₁C,∴=0,

即-3+0+z₁=0,故z₁=.

∴M(0,0,).                                                          

设向量m=(x,y,z)为平面AMB的法向量,

则m⊥,m⊥,

则

即令x=1,

则平面AMB的一个法向量为m=(1,),                               

显然向量n=(0,0,1)是平面ABC的一个法向量.

设所求二面角的大小为θ₂,

则cosθ₂=.

∴tanθ₂=.