Question

在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，AD=2

2

，CD=2，PA⊥平面ABCD，PA=4．
（I）设平面PAB∩平面PCD=m，求证：CD∥m；
（II）求证：BD⊥平面PAC；
（III）若E是PA的中点，求四面体PBEC的体积．

Answer 1

分析：（I）根据线面平行的判定定理，可得CD∥平面PAB．再线面平行的性质，可得CD∥m；
（II）利用平面几何知识，证出BD⊥AC，结合PA⊥平面ABCD得BD⊥PA，根据线面垂直的判定定理，得BD⊥平面PAC；
（III）过点C作CM⊥AB于M，根据线面垂直的判定定理结合已知条件，可证出CM⊥面PBE，从而CM是三棱锥C-PBE的高，再算出△PBE的面积，结合锥体体积公式可算出四面体PBEC的体积．

解答：解：（Ⅰ）∵AB∥CD，CD?平面PAB，AB?平面PAB，
∴CD∥平面PAB．…（2分）
∵CD?平面PCD，平面PAB∩平面PCD=m，
∴CD∥m．…（4分）
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，BD?面ABCD，
∴BD⊥PA，
Rt△ABD中，tan∠ABD=

AD

AB

=

2

2

；Rt△ACD中，tan∠DAC=

CD

AD

=

2

2

∴tan∠ABD=tan∠DAC，结合∠ABD、∠DAC都是锐角，
得∠ABD=∠DAC=90°-∠ADB
∴∠DAC+∠ADB=90°，得BD⊥AC，
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．…（8分）
（ III）过点C作CM⊥AB于M，
∵PA⊥平面ABCD，CM⊆平面ABCD，∴CM⊥PA
∵CM⊥AB，PA、AB是平面PBE内的相交直线
∴CM⊥面PBE，
∵S△PBE=

1

2

S△PBA=

1

2

×

1

2

×PA×AB=4，且CM=AD=2

2

∴四面体PBEC的体积为：VPBEC=

1

3

S△PBE•CM=

1

3

×4×2

2

=

8

3

2

…（12分）

点评：本题在特殊的四棱锥中证明线面平行和线面垂直，并求四面体的体积，着重考查了空间的线面垂直、线面平行的判定与性质，锥体体积的求法等知识，属于中档题．