Question

【题目】已知在极坐系中，点绕极点顺时针旋转角得到点.以为原点，极轴为轴非负半轴，并取相同的单位长度建立平面直角坐标系，曲线绕逆时针旋转得到曲线.

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）点的极坐标为，直线过点且与曲线交于两点，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）14.

【解析】

（1）求得点绕极点顺时针旋转得到点，代入曲线上，结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求求解；

（2）求得的直角坐标，设的参数方程为（为参数），代入，利用参数的几何意义和三角函数性质，即可求解.

（1）设为曲线是任意一点，

则点绕极点顺时针旋转得到点在曲线上，

又由的直线坐标方程为，代入可得，

整理，所以，

即曲线的方程为.

（2）由点的极坐标为，可得的直角坐标为 ，

设的参数方程为（为参数），

代入，整理后可得，

所以，

当且仅当或时取等号，此时，符合条件，

故的最小值为14.