Question

（2006•朝阳区一模）如图给出一个“直角三角形数阵”满足每一列成等差数列，从第三行起每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行，第j列的数为a_ij（i≥j，i，j∈N^*），则第3列的公差等于

1

16

，a_ij等于

i

2j+1

．

Answer 1

分析：“直角三角形数阵”，寻找所需的公差和公比，确定具体数的位置，求出解来．

解答：解：①由题意知，第一列成等差数列，公差d=

1

2

-

1

4

=

1

4

，∴a₄₁=

3

4

+

1

4

=1；
第二列成等差数列，公差d=

3

8

-

1

4

=

1

8

，∴a₄₂=

3

8

+

1

8

=

1

2

；
又第四行成等比数列，公比q=

1 2

1

=

1

2

，∴a₄₃=

1

2

×

1

2

=

1

4

；
∴第三列是等差数列，公差d=

1

4

-

3

16

2=

1

16

；
②∵a_ij是第i行第j个数，由已知a_i1=a₁₁+（i-1）•d=

1

4

+（i-1）×

1

4

=

i

4

，a_i2=a₂₂+（i-2）•d=

1

4

+（i-2）×

1

8

=

i

8

；
又第i行成等比数列，公比q=

i 8

i 4

=

1

2

，∴a_ij=a_i1•q^j-1=

i

4

•(

1

2

)j-1=

i

2j+1

；
故答案为：

1

16

，

i

2j+1

．

点评：本题考查了等差、等比数列的性质和应用，解题时应仔细观察，寻找数量间的相互关系，是易错题．