Question

已知向量

c

与

a

=(2，-1)和

b

=(1，2)的夹角相等，且|

c

|=2

10

，
（2）求

c

的坐标；
（2）求

a

-

c

与

b

-

c

的夹角．

Answer 1

分析：（1）设出

c

的坐标，利用向量的数量积公式表示出向量的夹角余弦，通过两组的夹角相等，列出方程组，求出

c

的坐标．
（2）利用（1）求出

a

-

c

与

b

-

c

的坐标，利用向量的数量积公式求出

a

-

c

与

b

-

c

的夹角余弦，利用反三角函数求出夹角．

解答：解：（1）设

c

=(x，y)，

c

与

a

的夹角为 θ1，

c

与

a

的夹角为θ₂则cosθ₁=cosθ₂，
∴

c • a

| c |•| a |

=

c • b

| c |•| b |

得

2x-y=x+2y x2+y2=40

，
即

x=6 y=2

或

x=-6 y=-2

c

=(6，2)或 （-6，-2）．
（2）当

c

=(6，2)时，

a

-

c

=（-4，3），

b

-

c

=（-5，0），
所以cos＜

a

-

c

，

b

-

c

＞=

20

5×5

=

4

5

，
所以＜

a

-

c

，

b

-

c

＞=arccos

4

5

．
当

c

=(-6，-2)时，

a

-

c

=（8，1），

b

-

c

=（7，4），
所以cos＜

a

-

c

，

b

-

c

＞=

60

65• 65

=

12

13

所以＜

a

-

c

，

b

-

c

＞=arccos

12

13

．

点评：本题考查利用向量的数量积求向量的夹角、向量模的坐标公式．计算量较大，是一道中档题．