题目内容
设函数f（x）=
，对任意x1、x2∈（0，+∞），不等式
恒成立，则正数k的取值范围是________．
k≥1
分析：当x＞0时，
=
，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，由恒成立且k＞0，则
，可求
解答：∵当x＞0时，=
=2e
∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x1）有最小值2e
∵
∴
=
当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增
当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减
∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e
则有x1、x2∈（0，+∞），f（x1）min=2e＞g（x2）max=e
∵恒成立且k＞0
∴
∴k≥1
故答案为k≥1
点评：本题主要考查了利用基本不等式求解函数的最值，导数在函数的单调性，最值求解中的应用是解答本题的另一重要方法，函数的恒成立问题的转化，本题具有一定的难度
分析：当x＞0时，
=，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，由恒成立且k＞0，则，可求解答：∵当x＞0时，
==2e∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x1）有最小值2e
∵
∴
=当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增
当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减
∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e
则有x1、x2∈（0，+∞），f（x1）min=2e＞g（x2）max=e
∵
恒成立且k＞0∴
∴k≥1
故答案为k≥1
点评：本题主要考查了利用基本不等式求解函数的最值，导数在函数的单调性，最值求解中的应用是解答本题的另一重要方法，函数的恒成立问题的转化，本题具有一定的难度
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