Question

15．已知函数f（x）=b•a^x，（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）=$\frac{1}{3}$（f（x））²-f（x）+1，x∈[0，2]的值域；
（3）若不等式（$\frac{1}{a}$）${\;}^{x}+（\frac{1}{b}）^{x}+2m-3≥0$在x∈（-∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题知6=ba，24=ba³，由此能求出f（x）=3•2^x．
（2）整理函数，构造函数得出g（t）=3t²-3t+1=3（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，利用二次函数的性质，可求出函数的值域；
（3）化简不等式可得h（x）=$（\frac{1}{a}）^{x}+（\frac{1}{b}）^{x}-3$，x∈（-∞，1]，利用函数的单调性可知h（x）≥h（1）=-$\frac{13}{6}$，进而求出m的范围．

解答 解：（1）由题知6=ba，24=ba³，
解得b=3，a=2，
∴f（x）=3•2^x；
（2）g（x）=$\frac{1}{3}$（f（x））²-f（x）+1=32^2x-32^x+1，
令t=2^x，t∈[1，4]，
∴g（t）=3t²-3t+1=3（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
∴函数g（x）的值域为[1，37]；
（3）（$\frac{1}{a}$）${\;}^{x}+（\frac{1}{b}）^{x}+2m-3≥0$在x∈（-∞，1]上恒成立，即$（\frac{1}{a}）^{x}+（\frac{1}{b}）^{x}-3$≥-2m在（-∞，1]上恒成立，
令h（x）=$（\frac{1}{a}）^{x}+（\frac{1}{b}）^{x}-3$，x∈（-∞，1]，
由于h（x）=$（\frac{1}{a}）^{x}+（\frac{1}{b}）^{x}-3$，x∈（-∞，1]是减函数，
∴h（x）≥h（1）=-$\frac{13}{6}$，
∴-$\frac{13}{6}$≥-2m，
∴m≥$\frac{13}{12}$．

点评 考查了利用代入法求函数解析式和利用换元法求解问题，恒成立转换为最值问题．属于基础知识和基本技能的考查．