Question

4．直线L_n：y=x-$\sqrt{2n}$与圆C_n：x²+y²=2a_n+n交于不同的两点A_n，B_n．数列{a_n}满足：a₁=1，a _n+1=$\frac{1}{4}$|A_nB_n|²．
（1）求数列{a_n}的通项公式，
（2）若b_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n-1（n为奇数）}\\{{a}_{n}（n为偶数）}\end{array}\right.$，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用点到直线的距离公式和弦长公式，求得$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=2$，再由等比数列的通项公式即可得到所求；
（2）求出b_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n-1，n为奇数}\\{{2}^{n-1}，n为偶数}\end{array}\right.$，讨论n为奇数、偶数，运用分组求和方法，结合等差数列和等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求．

解答 解：（1）圆心（0，0）到直线L_n的距离为d_n=$\frac{|\sqrt{2n}|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{n}$，
半径${r_n}=\sqrt{2{a_n}+n}$，
∴${a_{n+1}}=\frac{1}{4}{|{{A_n}{B_n}}|^2}={r_n}^2-d_n^2=2{a_n}+n-n=2{a_n}$，
即$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=2$，
∴{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴${a_n}={2^{n-1}}$；
（2）b_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n-1（n为奇数）}\\{{a}_{n}（n为偶数）}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{2n-1，n为奇数}\\{{2}^{n-1}，n为偶数}\end{array}\right.$，
n为偶数时，前n项和T_n=（b₁+b₃+…+b_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）
=[1+5+7+…+（2n-3）]+（2+2³+2⁵+…+2^n-1）
=$\frac{1}{2}$•$\frac{n}{2}$（2n-2）+$\frac{2（1-{4}^{\frac{n}{2}}）}{1-4}$=$\frac{{n}^{2}-n}{2}$+$\frac{2（{2}^{n}-1）}{3}$；
n为奇数时，${T_n}={T_{n-1}}+{b_n}=\frac{{{{（n-1）}^2}-（n-1）}}{2}+\frac{{2（{2^{n-1}}-1）}}{3}+（2n-1）=\frac{{{n^2}+n}}{2}+\frac{{{2^n}-2}}{3}$，
综上可得，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{n}^{2}-n}{2}+\frac{2（{2}^{n}-1）}{3}，n为偶数}\\{\frac{{n}^{2}+n}{2}+\frac{{2}^{n}-2}{3}，n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项的求法及数列的求和的方法，考查等差数列和等比数列的求和公式的运用，同时考查直线和圆相交的弦长公式，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．