Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、P、Q分别是BC、C₁D₁、AD₁、BD的中点．
（1）求证：PQ∥平面DCC₁D₁；
（2）求证：AC⊥EF．

Answer 1

分析：（1）连接AC，CD₁，由P，Q分别为AD₁、AC的中点，知PQ∥CD₁，由此能够证明PQ∥平面DCC₁D₁．
（2）作CD中点H，连接EH，FH，由F，H分别是CD，C₁D₁的中点，知FH

∥

.

D₁D，由D₁D⊥面ABCD，知FH⊥面ABCD，故AC⊥FH，再由AC⊥BD，得到AC⊥平面EFH，由此能够证明AC⊥EF．

解答：证明：（1）如图所示，连接AC，CD₁，
∵P，Q分别为AD₁、AC的中点，∴PQ∥CD₁，
∵CD₁?平面DCC₁D₁，PQ?平面DCC₁D₁，
∴PQ∥平面DCC₁D₁．
（2）如图，作CD中点H，连接EH，FH，
∵F，H分别是CD，C₁D₁的中点，∴在平行四边形CDD₁C₁中，FH

∥

.

D₁D，
∵D₁D⊥面ABCD，∴FH⊥面ABCD，
∵AC?面ABCD，∴AC⊥FH，
又∵E，H分别为BC、CD的中点，
∴EH∥DB，
∵AC⊥BD，∴AC⊥平面EFH，
∵EF?平面EFH，∴AC⊥EF．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线垂直的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．