Question

16．某公司科技小组研发一个新项目，预计能获得不少于1万元且不多于5万元的投资收益，公司拟对研发小组实施奖励，奖励金额y（单位：万元）和投资收益x（单位：万元）近似满足函数y=f（x），奖励方案满足如下两个标准：①f（x）为单调递增函数，②0≤f（x）≤kx，其中k＞0．
（1）若$k=\frac{1}{2}$，试判断函数$f（x）=\sqrt{x}$是否符合奖励方案，并说明理由；
（2）若函数f（x）=lnx符合奖励方案，求实数k的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过判断导函数的符号判断结论即可；
（2）设$g（x）=\frac{lnx}{x}$，x∈[1，5]，根据函数的单调性求出函数的最大值，求出k的范围即可．

解答 解：（1）∵$f（x）=\sqrt{x}$，∴$f'（x）=\frac{1}{{2\sqrt{x}}}＞0$，
∴函数$f（x）=\sqrt{x}$是区间[1，5]上的单调递增函数，满足标准①，…（2分）
当x∈[1，4）时，$f（x）=\sqrt{x}=\frac{1}{{\sqrt{x}}}•x＞\frac{1}{2}x$，不满足标准②，
综上所述：$f（x）=\sqrt{x}$不符合奖励方案．                              …（4分）
（2）∵函数f（x）=lnx符合奖励标准，
∴f（x）≤kx，即lnx≤kx，∴$k≥\frac{lnx}{x}$，…（6分）
∴设$g（x）=\frac{lnx}{x}$，x∈[1，5]，∴$g'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，
令g'（x）=0，∴x=e，
x，g′（x），g（x）的变化如下：

x	（1，e）	e	（e，5）
g'（x）	+	0	$\_$
g（x）	增	极大值	减

…（8分）
∴$g（x）=\frac{lnx}{x}$的极大值是$g（e）=\frac{1}{e}$，且为最大值，
∴$k≥\frac{1}{e}$，…（10分）
又∵函数f（x）=lnx，x∈[1，5]，
∴$f'（x）=\frac{1}{x}＞0$，∴函数f（x）在区间[1，5]上单调递增，满足标准①，
∵x∈[1，5]，∴f（x）=lnx≥0，
综上所述：实数k的最小值是$\frac{1}{e}$．                                    …（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．