Question

1．已知下列命题：
①向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$不共线，则向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与向量$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$一定不共线
②对任意向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，则|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|≥||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$||恒成立
③在同一平面内，对两两均不共线的向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，若给定单位向量$\overrightarrow{b}$和正数λ，总存在单位向量$\overrightarrow{c}$和实数μ，使得$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow{c}$+μ$\overrightarrow{b}$
则正确的序号为（　　）

• A． ①②③
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②

Answer 1

分析 ①用反证法证明向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与向量$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$不共线，①正确；
②利用绝对值三角不等式，即可推出②正确；
③根据平面向量的基本定理，结合λ为正数，得出③错误．

解答 解：对于①，假设向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与向量$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$共线，则$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=λ（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），λ∈R，
∴（λ-1）$\overrightarrow{a}$=（λ+1）$\overrightarrow{b}$，∴$\overrightarrow{a}$=$\frac{λ+1}{λ-1}$$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线，即$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$不共线，①正确；
对于②，对任意向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{a}$|=|（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）+$\overrightarrow{b}$|≤|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|+|$\overrightarrow{b}$|
∴|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|≤|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|
∴||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$||≤|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，
即|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|≥||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$||恒成立，②正确；
对于③，∵λ为正数，∴λ$\overrightarrow{c}$+μ$\overrightarrow{b}$代表与原向量同向的且有固定长度的向量，
这使得向量$\overrightarrow{a}$不一定能用两个单位向量的组合表示出来，
故不一定能使得$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow{c}$+μ$\overrightarrow{b}$，③错误．
综上，正确的命题序号为①②．
故选：D．

点评 本题考查了命题真假的判断问题，也考查了平面向量的应用问题，是综合题．