Question

设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0,-＜φ＜),给出以下四个论断:①f(x)的图象关于直线x=对称;

②f(x)的图象关于点(,0)对称;

③f(x)的周期为π;

④f(x)在［-,0］上是增函数.

    以其中的两个论断为条件,余下的论断为结论,写出你认为正确的两个命题,并对其中一个命题加以证明.

Answer 1

解：两个正确的命题为(1)①③②④;(2)②③①④.

(1)证明：由③,f(x)的周期为π,则ω=2,

∴f(x)=sin(2x+φ).

    由①,f(x)的图象关于x=对称,

    则2×+φ=2kπ±(k∈Z).

    又-＜φ＜,∴只能是2×+φ=.

∴φ=,f(x)=sin(2x+).

∵f(x+)=sin(2x+π)=-sin2x为奇函数,

∴f(x+)的图象关于原点对称.

∴f(x)的图象关于(,0)对称,即②成立.

    由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),

    得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).

    当k=0时,得［-,］.

    而［-,0］［-,］,

∴f(x)在［-,0］上为增函数,即④成立.

②③①④试着自己证明.