Question

如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=,AF=1,M是线段EF的中点.

(1)求证AM∥平面BDE；

(2)求证AM⊥平面BDF；

(3)求二面角A—DF—B的大小.

Answer 1

解法一：(1)如下图，设AC∩BD=O,连结OE，

∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，

∴四边形AOEM是平行四边形.

∴AM∥OE.

∵OE平面BDE.AM平面BDE，

∵AM∥平面BDE.

(2)如图，∵BD⊥AC，BD⊥AF，且AC交AF于A，

∴BD⊥平面AE，又因为AM平面AE，

∴BD⊥AM.

∵AD=,AF=1,OA=1

∴四边形AOMF是正方形，

∴AM⊥OF，又AM⊥BD，且OF∩BD=O

∴AM⊥平面BDF.

(3)如图，设AM∩OF=H，过H作HG⊥DF于G，边结AG，由三垂线定理得AG⊥DF，

∴∠AGH是二面角A—DF—B的平面角.

AH=,AG=.

∴sin∠AGH=,∴∠AGH=60°

∴二面角A—DF—B的大小为60°.

解法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系.

    设AC∩BD=N

    则点N、E的坐标分别是(,,0),(0,0,1),

∴=(-,-,1).

    又点A、M的坐标分别是(，，0)、(，，1).

∴=(-,-,1).

∴=且NE与AM不共线，

∴NE∥AM.

    又∵NE平面BDE，AM平面BDE.

∴AM∥平面BDE.

(2) =(-,-,1),

∴D(,0,0),F(,,1),

∴=(0, ,1),

∴·=0,所以AM⊥DF.

    同理AM⊥BF，又DF∩BF=F,

∴AF⊥平面BDF.

(3)∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD=A,

∴AB⊥平面ADF.

∴=(-,0,0)为平面DAF的法向量.

∵·=(-,-,1)·(-,,0)=0,

·=(-,-,1)·(,,1)=0得NE⊥DB，NE⊥NF，

∴为平面BDF的法向量.

∴cos〈,〉=.

∴与的夹角60°.

即所求二面角A—DF—B的大小是60°.