Question

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．
（1）证明AD⊥D₁F；  
（2）求AE与D₁F所成的角；
（3）证明面AED⊥面A₁FD₁；
（4）设AA₁=2，求三棱锥F-A₁ED₁的体积V_F-A1ED1．

Answer 1

解法一：（1）∵AC₁是正方体，∴AD⊥面DC₁．
又D₁F?面DC₁，∴AD⊥D₁F．
（2）取AB中点G，连接A₁G，FG．
因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，
又A₁D₁、AD平行且相等，所以GF、A₁D₁平行且相等，故GFD₁A₁是平行四边形，A₁G∥D₁F．
设A₁G与AE相交于点H，则∠AHA₁是AE与D₁F所成的角，
因为E是BB₁的中点，所以Rt△A₁AG≌Rt△ABE，
∴∠GA₁A=∠GAH，从而∠AHA₁=90°，即直线AE与D₁F所成角为直角．
（3）由（1）知AD⊥D₁F，由（2）知AE⊥D₁F，
又AD∩AE=A，所以D₁F⊥面AED．
又因为D₁F?面A₁FD₁，
所以面AED⊥面A₁FD₁．
（4）连接GE，GD₁．
∵FG∥A₁D₁，∴FG∥面A₁ED₁，
∵AA₁=2，
∴面积S_△A1GE=S_ABB1A1-2S_△A1AG-S_△GBE=
又=
∴
解法二：利用用向量求解
解：设正方体的棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（2，0，0），F（0，1，0），E（2，2，1），A₁（2，0，2），D₁（0，0，2），
（1）∵，，得，∴AD⊥D₁F；
（2）又，得=
∴AE与D₁F所成的角为90°
（3）由题意：，
设平面AED的法向量为，设平面A₁FD₁的法向量为，
由
由

得=
∴面AED⊥面A₁FD₁．
（4）∵AA₁=2，，
平面A₁FD₁的法向量为
=，
∴E到平面A₁FD₁的距离=，
∴．
分析：解法一：传统证法．（1）利用线面垂直，证明线线垂直；
（2）设A₁G与AE相交于点H，先证∠AHA₁是AE与D₁F所成的角，再求直线AE与D₁F所成角；
（3）利用线面垂直，证明面面垂直；
（4）利用转换底面的方法，求三棱锥的体积；
解法二：向量证法．设正方体的棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（2，0，0），F（0，1，0），E（2，2，1），A₁（2，0，2），D₁（0，0，2），
（1）利用，可证AD⊥D₁F；
（2）求得=，可求AE与D₁F所成的角；（3）由题意：，
设平面AED的法向量为，设平面A₁FD₁的法向量为，证明平面的法向量垂直，即可证明面AED⊥面A₁FD₁．
（4）先求得=，计算E到平面A₁FD₁的距离=，即可求三棱锥的体积．
点评：本题重点考查线面垂直、面面垂直，考查三棱锥的体积，两法并用，注意比较，细细体会．