Question

以知{a_n}前项n和s_n=2a_n-1（n∈N），（1）证明{a_n}是等比数列；（2）求{a_n}通项公式；（3）求{a_n}前n项的和．

Answer 1

（1）∵s_n=2a_n-1，s_n-1=2a_n-1-1，（n≥2），
∴两式相减得：s_n-s_n-1=a_n=（2a_n-1）-（2a_n-1-1），
∴a_n=2a_n-1（n≥2），即

an

an-1

=2，
又令n=1，得到s₁=a₁=2a₁-1，解得：a₁=1，
同理令n=2，得到a₂=2，此两项满足此关系，
则数列{a_n}为等比数列；（5分）
（2）由（1）得到{a_n}为首项是1，公比为2的等比数列，
∴通项公式为a_n=a₁q^n-1=2^n-1；
（3）由（1）得到{a_n}为首项是1，公比为2的等比数列，
则前n项和公式s_n=

a1(1-qn)

1-q

=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1．