Question

（2006•重庆一模）已知函数f （x）的定义域为R，且f（x+2）-f（x+1）+f（x）=0，f(1)=

1

2

， f(2)=

1

4

，则f （2006）=

1

4

．

Answer 1

分析：由f（x+2）=f（x+1）-f（x），知f（x+3）=f（x+2）-f（x+1），故f（x+2）+f（x+3）=f（x+1）-f（x）+f（x+2）-f（x+1），-f（x+3）=f（x），所以f（x+6）=f（x），所以周期T=6．由此能求出f（2006）．

解答：解：∵f（x+2）=f（x+1）-f（x），
∴f（x+3）=f（x+2）-f（x+1），
∴f（x+2）+f（x+3）=f（x+1）-f（x）+f（x+2）-f（x+1），
∴f（x+3）=-f（x），
则-f（x+3）=f（x），
所以f（x+6）
=f[（x+3）+3]
=-f（x+3）
=f（x）
所以周期T=6．
∵2006÷6余数是2，
所以f（2006）=f（2）=

1

4

．
故答案为：

1

4

．

点评：本题考查函数的周期性的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．