题目内容

已知直线l的参数方程是 $数学公式$ （t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=4 $数学公式$ cos（θ+ $数学公式$ ）．
（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化写为直角坐标系方程；
（Ⅱ）若圆C上有且仅有三个点到直线l距离为 $数学公式$ ，求实数a的值．

解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为ρ=4 $\text{[math]}$ cos（θ+ $\text{[math]}$ ）展开得ρ=4cosθ-4sinθ，变为ρ²=4ρcosθ-4ρsinθ，
化为直角坐标系方程x²+y²=4x-4y，
∴圆C的直角坐标系方程为x²+y²=4x-4y；
（Ⅱ）直线l的参数方程是 $\text{[math]}$ （t为参数），

消去参数化为y=2x+a．
由（1）可知：圆C的方程为（x-2）²+（y+2）²=8，
∴圆心C（2，-2），半径r= $\text{[math]}$ ．
如图所示：
∵圆C上有且仅有三个点到直线l距离为 $\text{[math]}$ ，半径r= $\text{[math]}$ ．
∴当圆心C到直线l的距离为 $\text{[math]}$ 时，与直线l平行的直径与圆的两个交点满足条件，另外与直线l平行且与圆相切的切线的切点也满足条件，因此圆C上共有三个点到直线l的距离等于 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ．
∴实数a的值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）利用极坐标系与直角坐标系的互化公式即可得出；
（Ⅱ）要满足条件“圆C上有且仅有三个点到直线l距离为 $\text{[math]}$ ”，当圆心C到直线l的距离为 $\text{[math]}$ 时即可．
点评：熟练掌握极坐标系与直角坐标系的互化公式、点到直线的距离公式及把问题等价转化是解题的关键．