Question

（12分）如图，已知椭圆的右顶点为A（2，0），点P（2e，）在椭圆上（e为椭圆的离心率）．

（1）求椭圆的方程；

（2）若点B，C（C在第一象限）都在椭圆上，满足，且，求实数λ的值．

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）因为椭圆的右顶点为A（2，0），所以 ，又因为点点P（2e，）在椭圆上，所以有 由此解得的值从而得到椭圆的标准方程.

（2）设直线的斜率为,则直线OC方程为 ,直线AB方程为 ,分别代入椭圆方程 ,由 ,求出 ,再由 ,求出实数 的值.

试题解析：【解析】
（1）∵椭圆的右顶点为A（2，0），∴a=2，

∵点P（2e，）在椭圆上，

∴，

∵a2=4，，a2=b2+c2，

∴b2=1，c2=3，

∴椭圆的方程为．

（2）设直线OC的斜率为k，则直线OC方程为y=kx，

代入椭圆方程，即x2+4y2=4，

得（1+4k2）x2=4，∴，

∴C（，），

又直线AB方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程x2+4y2=4，

得（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0，

∵xA=2，∴xB=，

∵=0，

∴+=0，

∴，∵C在第一象限，∴k＞0，∴k=，

∵=（），

=（2﹣，0﹣）=（，），

由=，得，

∴k=，∴．

考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆位置关系综合问题.