Question

【题目】【2017福建三明5月质检】已知函数，．

（Ⅰ）当时，求证：过点有三条直线与曲线相切；

（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（I）详见解析；（II）.

【解析】

解法一：（Ⅰ）当时，，

设直线与曲线相切，其切点为，

则曲线在点处的切线方程为：，

因为切线过点，所以，

即，

∵，∴，

设，

∵，，，

∴在三个区间上至少各有一个根

又因为一元三次方程至多有三个根，所以方程恰有三个根，

故过点有三条直线与曲线相切．

（Ⅱ）∵当时，，即当时，

∴当时，，

设，则，

设，则．

（1）当时，∵，∴，从而（当且仅当时，等号成立）

∴在上单调递增，

又∵，∴当时，，从而当时，，

∴在上单调递减，又∵，

从而当时，，即

于是当时，．

（2）当时，令，得，∴，

故当时，，

∴在上单调递减，

又∵，∴当时，，

从而当时，，

∴在上单调递增，又∵，

从而当时，，即

于是当时，，

综合得的取值范围为．

解法二：（Ⅰ）当时，，

，

设直线与曲线相切，其切点为，

则曲线在点处的切线方程为，

因为切线过点，所以，

即，

∵，∴

设，则，令得

当变化时，，变化情况如下表：

	+	0	-	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴恰有三个根，

故过点有三条直线与曲线相切．

（Ⅱ）同解法一．