Question

已知数列{a_n}中，a₁=-

5

8

，a_n+1-a_n=

1

n(n+1)

（n∈N^*）
（Ⅰ）求a₂、a₃的值；
（Ⅱ）求a_n；
（Ⅲ）设b_n=（1+2+3+…+n）a_n，求b_n的最小值．

Answer 1

分析：（I）利用数列递推式，代入计算，可得结论；
（II）利用叠加法，即可求a_n；
（Ⅲ）利用配方法，即可求b_n的最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=-

5

8

，a_n+1-a_n=

1

n(n+1)

，
∴a₂=-

1

8

，a₃=

1

24

                          …（2分）
（Ⅱ）a2-a1=1-

1

2

，a3-a2=

1

2

-

1

3

，…，an-an-1=

1

n-1

-

1

n

，
∴a_n=

3

8

-

1

n

=

3n-8

8n

                           …（9分）
（Ⅲ）b_n=（1+2+3+…+n）a_n=

1

16

(n+1)(3n-8)
∵y=

1

16

(n+1)(3n-8)的对称轴为n=

5

6

，
所以当n=1时，b₁最小，b₁=-

5

8

．               …（16分）

点评：本题考查数列递推式，考查叠加法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．