题目内容

已知向量 $数学公式$ ，向量 $数学公式$ 与向量 $数学公式$ 的夹角为 $数学公式$ ，且 $数学公式$ ．
（1）求向量 $数学公式$ ；
（2）若向量 $数学公式$ 与 $数学公式$ 共线，向量 $数学公式$ ，其中A、C为△ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列，求 $数学公式$ 的取值范围．

解：（1）设 $\text{[math]}$ ．由 $\text{[math]}$ ，得x+y=-1①
又向量 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即x²+y²=1②
由①、②解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．…（5分）
（2）结合（1）由向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线知 $\text{[math]}$ ；
由A、B、C依次成等差数列知 $\text{[math]}$ ．…（7分）
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．…（10分）
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．…（12分）
分析：（1）设设 $\text{[math]}$ ，由题意可建立关于xy的方程组，解之即可；
（2）结合题意易得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，进而可得的坐标，可表示 $\text{[math]}$ ，结合三角函数的知识由A的范围逐步可得所求范围．
点评：本题考查平面向量的数量积的运算，涉及正余弦函数的定义域和值域，属中档题．