题目内容

设椭圆 $数学公式$ 恒过定点A（1，2），则椭圆的中心到准线的距离的最小值________．

$\text{[math]}$
分析：根据椭圆 $\text{[math]}$ 恒过定点A（1，2），可得 $\text{[math]}$ ，利用椭圆几何量之间的关系，设 $\text{[math]}$ ，等式可转化为t²a⁴-（t²+1）a²+5=0，利用判别式，即可求得椭圆的中心到准线的距离的最小值．
解答：设椭圆的焦距为2c，同时可设 $\text{[math]}$ ，∴c=ta²
∵椭圆 $\text{[math]}$ 恒过定点A（1，2），
∴ $\text{[math]}$
∴b²+4a²=a²b²
∴5a²-c²=a²（a²-c²）
∴5a²-（ta²）²=a²[a²-（ta²）²]
∴t²a⁴-（t²+1）a²+5=0
∴△=（t²+1）²-20t²≥0时，方程有解
∴ $\text{[math]}$
∴t≥ $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$
∵椭圆 $\text{[math]}$ 恒过定点A（1，2），
∴椭圆的中心到准线x= $\text{[math]}$ ＞1
∴椭圆的中心到准线的距离的最小值 $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题综合考查椭圆的标准方程与性质，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，有一定的技巧．

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=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F₁，F₂，离心率为e=

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y-3=0相切．
（I）求椭圆C的方程；
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已知椭圆E：

=1（a＞b＞0）的离心率e=

，左、右焦点分别为F₁、F₂，点P（2，

），点F₂在线段PF₁的中垂线上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设l₁，l₂是过点G（

，0）且互相垂直的两条直线，l₁交E于A，B两点，l₂交E于C，D两点，求l₁的斜率k的取值范围；
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（2012•盐城一模）设椭圆C：

=1(a＞b＞0)恒过定点A（1，2），则椭圆的中心到准线的距离的最小值

=1(a＞b＞0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x²+y²-1上，过右焦点作相互相垂直的两条弦AB，CD，设M，N分别为AB，CD的中点．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明直线MN恒过定点，并求该定点的坐标．