Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F₁，F₂，离心率为e=

2

2

，以F₁为圆心，|F₁F₂|为半径的圆与直线x-

3

y-3=0相切．
（I）求椭圆C的方程；
（II）过点S（0，-

1

3

）且斜率为k的直线交椭圆C于点A，B，证明无论k取何值，以AB为直径的圆恒过定点D（0，1）．

Answer 1

分析：（I）设F₁（-c，0），F₂（c，0），则由已知得

|-c- 3 ×0-3|

1+3

=2c，得c=1．再由

c

a

=

2

2

能导出椭圆C的方程．
（II）由已知直线AB：y=kx-

1

3

，代入

x2

2

+y2=1，得x2+2(kx-

1

3

)2 =2，整理，得（18k²+9）x²-12kx-16=0，再由韦达定理进行求解．

解答：解：（I）设F₁（-c，0），F₂（c，0），则由已知得

|-c- 3 ×0-3|

1+3

=2c，
解得c=1．
∵

c

a

=

2

2

，∴a=

2

，∴b²=1，
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（II）由已知直线AB：y=kx-

1

3

，代入

x2

2

+y2=1，得x2+2(kx-

1

3

)2 =2，
整理，得（18k²+9）x²-12kx-16=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x1+x2=

4k

6k2+3

，x1x2=-

16

18k2+9

，
∵y1=kx1-

1

3

，y2=kx2-

1

3

，
∴

DA

•

DB

=(x1y1 -1)(x2y2-1)
=（1+k²）

-16

9(2k2+1)

-

4

3

k

4k

3(2k2+1)

+

16

9

=0，∴

DA

⊥

DB

．∴以AB为直径的圆恒过定点D（0，1）．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用．