题目内容
5．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的一动点P到左、右两焦点F1，F2的距离之和为2$\sqrt{2}$，点P到椭圆一个焦点的最远距离为$\sqrt{2}$+1．（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点．
①若y轴上存在一点M（0，$\frac{1}{2}$）满足|MA|=|MB|，求直线l斜率k的值；
②是否存在这样的直线l，使S△ABO的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$（其中O为坐标原点）？若存在，求直线l方程；若不存在，说明理由．
分析 （I）由题意可得：2a=2$\sqrt{2}$，a+c=$\sqrt{2}$+1，及其a2=b2+c2，联立解出即可得出．
（II）①设直线l的方程为：y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2）．直线方程与椭圆方程联立化为：（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得线段AB的中点G$（\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}，\frac{-k}{1+2{k}^{2}}）$．
①k=0时满足条件．k≠0时，满足|MA|=|MB|，∴kMG•k=-1，化为2k2-3k+1=0，解得k．
②当x⊥x轴时，直线l的方程为x=1．代入椭圆方程解得y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得S△ABO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，此时直线l的方程为：x=1．当k=0时，△ABO不存在，舍去．当k≠0时，可得S△ABO=$\frac{1}{2}×1×|{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\frac{1}{2}|k（{x}_{1}-1）-k（{x}_{2}-1）|$=$\frac{|k|}{2}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\frac{1}{2}\sqrt{{k}^{2}}$$•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，化简即可得出结论．
解答 解：（I）由题意可得：2a=2$\sqrt{2}$，a+c=$\sqrt{2}$+1，及其a2=b2+c2，
解得a=$\sqrt{2}$，c=1=b，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（II）①设直线l的方程为：y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，
∴x1+x2=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x1•x2=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，y1+y2=k（x1+x2-2）=$\frac{-2k}{1+2{k}^{2}}$．
∴线段AB的中点G$（\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}，\frac{-k}{1+2{k}^{2}}）$．
①k=0时满足条件．
k≠0时，∵满足|MA|=|MB|，
∴kMG•k=$\frac{\frac{-k}{1+2{k}^{2}}-\frac{1}{2}}{\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}-0}$•k=-1，化为2k2-3k+1=0，
解得k=1或$\frac{1}{2}$．
综上可得：满足条件的k的值为0，1，$\frac{1}{2}$．
②当x⊥x轴时，直线l的方程为x=1．代入椭圆方程解得y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可得S△ABO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，此时直线l的方程为：x=1．
当k=0时，△ABO不存在，舍去．
当k≠0时，可得S△ABO=$\frac{1}{2}×1×|{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\frac{1}{2}|k（{x}_{1}-1）-k（{x}_{2}-1）|$
=$\frac{|k|}{2}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\frac{1}{2}\sqrt{{k}^{2}}$$•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{1}{2}\sqrt{{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\;}$$\sqrt{2}\sqrt{\frac{{k}^{2}（{k}^{2}+1）}{（1+2{k}^{2}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{\frac{{k}^{2}（{k}^{2}+1）}{（{k}^{2}+\frac{1}{2}）^{2}}}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴S△ABO＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此k≠0时，不存在符合条件的直线l．
综上所述：当且仅当直线l的方程为x=1时，S△ABO的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、分类讨论方法、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | ||
| C． | 充要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |
| A． | x=-$\frac{π}{6}$ | B． | x=$\frac{π}{12}$ | C． | x=-$\frac{π}{12}$ | D． | x=$\frac{π}{3}$ |
| A． | $-\frac{{\sqrt{2}}}{10}$ | B． | $-\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$ | C． | $-\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$ | D． | $-\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$ |
如图，AA1、BB1为圆柱OO1的母线，BC是底面圆O的直径，D、E分别是AA1、CB1的中点，BA=2，AC=1，B1C=3| A． | -$\frac{4}{3}$ | B． | -$\frac{3}{4}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | 2 |
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=4，点E、F分别为AB和PD的中点．