Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点，点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）过原点的直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴，轴分别交于两点.

（ⅰ）设直线斜率分别为，求的值；

（2）求面积的最大值.

Answer 1

【答案】(1) (2) （ⅰ） （ⅱ）

【解析】

（1）由题意和椭圆的几何性质，列出方程组，求得的值，即可得到椭圆的方程；

（2）（ⅰ）设，，则，利用斜率公式，即可求解.

（ⅱ）直线的斜率，进而得到直线的斜率，得出直线的方程为，进而得出的坐标，求得的面积，再利用基本不等式，即可求解面积的最值.

（1），且过，，

解得，，

∴椭圆方程为

（2）（ⅰ）设，，则，

则

（ⅱ）直线的斜率，又，故直线的斜率，

由题意知，，所以，

所以直线的方程为

令，得，即，令，得，即，

可得的面积

因为，当且仅当时等号成立，

此时取得最大值，所以的面积为最大.