Question

已知向量=（，-1），=（，），若存在实数k和t，使得=+（t²-3），=-k+t，且⊥．
（1）试求函数关系式k=f（t）；
（2）若t＞0，且不等式f（t）＞mt²-t恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据向量数量积运算公式和模的，算出=2，=1且=0，由此化简•=0的式子得4k+t（t²-3）=0，可得k=f（t）=（t³-3t），即为所求函数关系式；
（2）由（1），化简得不等式f（t）＞mt²-t恒成立，即m＜（t+）在（0，+∞）上恒成立．结合基本不等式加以计算，可得m＜恒成立，即得实数m的取值范围．
解答：解：（1）∵=（，-1），=（，），
∴=，=1，=0 
∵=+（t²-3），=-k+t，且⊥．
∴•=-k+t（t²-3）=0，即4k+t（t²-3）=0，
∴t³-3t-4k=0，
可得k=f（t）=（t³-3t），即为所求函数关系式；
（2）不等式f（t）＞mt²-t恒成立，
即（t³-3t）＞mt²-t在（0，+∞）上恒成立
化简整理，得m＜（t+）在（0，+∞）上恒成立
∵t+，当且仅当t=1时，t+达到最小值2
∴m＜×2=，
即满足对任意的t＞0，不等式f（t）＞mt²-t恒成立的m的取值范围为（-）
点评：本题给出向量的坐标，在向量互相垂直的情况下求函数的关系式并参数m的取值范围．着重考查了向量数量积的运算公式、向量的模和不等式恒成立等知识，属于中档题．