题目内容

函数 $数学公式$ ．
（I）若f（x）在x=2处取得极值，求p的值；
（II）若f（x）在其定义域内为单调函数求p的取值范围；
（III）若在[1，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求p的取值范围．

解：（I）f′（x）= $\text{[math]}$
∵f（x）在x=2处取得极值，∴f′（2）=0
∴ $\text{[math]}$ ，∴p= $\text{[math]}$ ；
（II）若f（x）在其定义域内为单调函数，则f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立
若f′（x）≥0恒成立，则 $\text{[math]}$ 在（0，+∞）上恒成立，即 $\text{[math]}$
若f′（x）≤0恒成立，则 $\text{[math]}$ 在（0，+∞）上恒成立，即 $\text{[math]}$
令 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴x=1时，h（x）_max=1；x→0或x→+∞时，h（x）_min→0
∴p≤0或p≥1；
（III）∵g（x）在[1，e]上单调递减，∴g（x）的值域为[2，2e]．
①若p≥1，由（II）知，f（x）在[1，e]上单调递增，∴f（x）的值域为[0， $\text{[math]}$ ]
∵在[1，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，
∴ $\text{[math]}$ ，∴p＞ $\text{[math]}$ ；
②若p≤0，由（II）知，f（x）在[1，e]上单调递减，∴f（x）的值域为[ $\text{[math]}$ ，0]
∵f（x）_max=0＜2=g（x）_min，∴此时不满足题意
③若0＜p＜1，则 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，函数在[1，e]上单调递增
∴ $\text{[math]}$ ≤e- $\text{[math]}$
∵e- $\text{[math]}$ ＜2=g（x）_min，∴此时不满足题意
综上，p＞ $\text{[math]}$ ．
分析：（I）求导函数，利用f（x）在x=2处取得极值，可得f′（2）=0，从而可求p的值；
（II）若f（x）在其定义域内为单调函数，则f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立，若f′（x）≥0恒成立，则 $\text{[math]}$ 在（0，+∞）上恒成立，即 $\text{[math]}$ ；若f′（x）≤0恒成立，则 $\text{[math]}$ 在（0，+∞）上恒成立，即 $\text{[math]}$ ，由此可求p的取值范围；
（III）先确定g（x）的值域为[2，2e]．再分类讨论，确定f（x）的值域，利用在[1，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，构建不等式，即可求p的取值范围．
点评：本题考查导数知的运用，考查函数的极值与最值，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．