Question

【题目】已知函数f（x）=ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．
（1）设a=2,b= .
①求方程f（x）=2的根；
②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；
（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：① ，由 可得 ，

则 ，即 ，则 ， ；

② 由题意得 恒成立，

令 ，则由 可得 ，

此时 恒成立，即 恒成立

∵ 时 ，当且仅当 时等号成立，

因此实数 的最大值为4

（2）

解： ， ，

由 ， 可得 ，令 ，则 递增，

而 ，因此 时 ，

因此 时， ， ，则 ；

时， ， ，则 ；

则 在 递减， 递增，因此 最小值为 ，

① 若 ， 时， ， ，则 ；

logb2时， ， ，则 ；

因此 且 时， ，因此 在 有零点，

且 时， ，因此 在 有零点，

则 至少有两个零点，与条件矛盾；

② 若 ，由函数 有且只有1个零点， 最小值为 ，

可得 ，

由 ，

因此 ，

因此 ，即 ，即 ，

因此 ，则

【解析】（1）①利用方程，直接求解即可．②列出不等式，利用二次函数的性质以及函数的最值，转化求解即可．
（2）求出g（x）=f（x）﹣2=ax+bx﹣2，求出函数的导数，构造函数h（x）= + ，求出g（x）的最小值为：g（x0）．同理①若g（x0）＜0，g（x）至少有两个零点，与条件矛盾．②若g（x0）＞0，利用函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，推出g（x0）=0，然后求解ab=1