Question

已知某精密仪器生产总成本C（单位：万元）与月产量x（单位：台）的函数关系为C=100+4x，月最高产量为150台，出厂单价p（单位：万元）与月产量x的函数关系为p=25+

1

80

x-

1

1800

x2．
（1）求月利润L与产量x的函数关系式L（x）；
（2）求月产量x为何值时，月利润L（x）最大？最大月利润是多少？

Answer 1

分析：（1）月利润函数L（x）=出厂单价p×月产量x-成本C，代入数据计算即可；
（2）由（1）知，利润函数L（x）是x的三次函数，对L（x）求导，令L'（x）=0，解得x的值，得出L（x）取最大值以及对应x的值．

解答：解：（1）月利润函数为：L(x)=px-C=(25+

1

80

x-

1

1800

x2)x-(100+4x)=-

1

1800

x3+

1

80

x2+21x-100，
其中0＜x≤150．
（2）因为利润函数L（x）是x的三次函数，对L（x）求导，得L′(x)=-

1

600

x2+

1

40

x+21=-

1

600

(x2-15x-12600)=-

1

600

(x-120)(x+105)；
令L'（x）=0，解得x=120，或x=-105（舍去），
当x∈（0，120）时，L'（x）＞0；当x∈（120，150]时，L'（x）＜0；
因此，当x=120时，L（x）取最大值；
所以，月产量为120台时，月利润L（x）最大，最大月利润为L（120）=1640万元．

点评：本题考查了三次函数模型的应用，求三次函数在某一区间上的最值问题时，通常用求导法．