Question

关于函数（x∈R）有下列命题：
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整数倍；
②y=f（x）的图象可由y=2cos2x的图象向右平移个单位得到；
③y=f（x）的图象关于直线对称；
④y=f（x）在区间上是减函数．
其中是假命题的序号有________．

Answer 1

①②③
分析：先把f（x）化为f（x）=．
①根据f（x₁）=f（x₂）=0可得，对k讨论即可；
②把f（x）向右平移个单位可得，再化简比较即可；
③若y=f（x）的图象关于直线对称，则必有，否则关于直线不对称；
④利用y=sinx在区间单调递减进行判断即可．
解答：∵f（x）===．
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得=0，
∴，．
∴2x₁-2x₂=（k₁-k₂）π，
∴．
当k=2n（n∈Z）时，x₁-x₂=nπ，此时x₁-x₂是π的整数倍；
当k=2n+1，（n∈Z）时，=，此时x₁-x₂不是π的整数倍；
故①不正确；
②由y=2cos2x的图象向右平移个单位得到y==2=≠，故②不正确；
③==0≠±2，故y=f（x）的图象关于直线不对称，∴③不正确；
④∵，∴，∴函数f（x）=在区间上是减函数，∴④正确．
综上可知：假命题是①②③．
故答案为①②③．
点评：正确理解函数y=Asin（ωx+φ）的对称性、单调性和平移变换等性质是解题的关键．