Question

【题目】(2015·四川）如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行与x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2.

（1）求椭圆E的方程；
（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

（2）

存在，Q点的坐标为Q（0,2）

【解析】由已知，点（，1）在椭圆E上， 因此, 解得a=2, b=, 所以椭圆的方程为。 （2）当直线l与x轴平行时，设直线x与椭圆相交于C, D两点如果存在定点Q满足条件，则, 即所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为(0,y0), 当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M,N两点， 则M（0， ）， N（0，-）。由, 有=, 解得y0=1或y0=2， 所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点的坐标只可能为Q(0，2), 下面证明:对任意的直线l均有,当直线的斜率l不存在时，由上可知，结论成立.
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+1的坐标分别为(x1, y1),(x2, y2), 联立, 得（2k2+1)x2+4kx-2=0. 其判别式△=16k2+8(2k2+1)>0, 所以x1+x2=-, x1·x2=-，因此+==2k, 易知，点B关于:一轴对称的点的坐标为B'(-x2, y2)

又KQA==k-, KQB==-k+=k-, 所以KQA= KQB ， 即Q,A,B'三点共线， 所以=,故存在故存在与P不同的定点Q（0,2），使得恒成立。
【考点精析】根据题目的已知条件，利用椭圆的标准方程的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．