Question

设f(x)=

a•2x-1

1+2x

是R上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判定f（x）在R上的单调性．

Answer 1

分析：（1）先由函数是奇函数，利用待定系数法求解．
（2）由（1）求得函数，再用单调性定义来判断其单调性，先任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号．

解答：解：（1）∵f（x）是R上的奇函数．
∴f（-x）=-f（x）

1-a2x

1+2x

=

a2-x-1

1+2-x

=

a-2x

1+2x

∴1-a•2=a-2^x
∴a=1

（2）设x₁＜x₂，则2^x₁＜2^x₂
f（x₁）-f（x₂）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0
所以f（x）在R上是增函数．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，这类问题往往用到待定系数法求参数的值．还考查了函数单调性的判断与证明，一般用定义法或导数．