题目内容
（理）正数列
的前
项和
满足：
，
常数
（1）求证：
是一个定值；
（2）若数列是一个周期数列，求该数列的周期；
（3）若数列是一个有理数等差数列，求．
（理）证明：（1）
（1）
（2）
： 
（3）
（4）
……………4分
（2）计算
……………6分
根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：
，
，
，
，
，。。。。
当
时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列
……………8分
所以
时，数列写出数列的前几项：
，，，，，。。。。
所以当
且
时，该数列的周期是2，
……………9分
当
时，该数列的周期是1，
……………10分
（3）因为数列
是一个有理等差数列，所以
化简
，
是有理数
……………12分
设
,是一个完全平方数，设为
，
均是非负整数
时，
……………14分
时
=
可以分解成8组，其中
只有
符合要求，
……………16分
此时
……………18分
或者
，
……………12分
等差数列的前几项：
，
，
，。。。。
……………14分
因为数列是一个有理等差数列
是一个自然数，
……………16分
此时
……………18分
如果没有理由，猜想：
，解答
得2分
得2分
【解析】略
的前
项和为
,且
满足
，
。
；
的前
，求证：
。
的前
项和为
，且
，其中
．
，数列
满足
），
，求
．
的公差是
，
是该数列的前
项和.
表示
，其中
、
，求
项的和分别为
，试将问题（1）推广，探究相应的结论. 若能证明，则给出你的证明并求解以下给出的问题；若无法证明，则请利用你的研究结论和另一种方法计算以下给出的问题，从而对你猜想的可靠性作出自己的评价.问题：“已知等差数列
项和
，前
项和
，求数列
.”
的首项
，前
项和为
（
），且点
在直线
上（
为与
）为等比数列；
，数列
满足
，设
，求数列
的前
；
，求函数
的值域.