Question

已知等差数列a_n的前n项和为S_n，若（a₂-1）³+5（a₂-1）=1，（a₂₀₁₀-1）³+5（a₂₀₁₀-1）=-1，则a₂+a₂₀₁₀=

 

S₂₀₁₁=

 

．

Answer 1

分析：由（a₂-1）³+5（a₂-1）=1，（a₂₀₁₀-1）³+5（a₂₀₁₀-1）=-1，可得0＜a₂-1＜1，-1＜a₂₀₁₀-1＜0
由0＜a₂-1＜1，-1＜a₂₀₁₀-1＜0 可得（a₂-1）²+（a₂₀₁₀-1）²-（a₂-1）（a₂₀₁₀-1）+5＞0
从而可求，a₂+a₂₀₁₀=2
由等差数列的前n项和及等差数列的性质可得，S2011=

a1+a2011

2

×2011=

2011(a2+a2010)

2

=2011

解答：解：由（a₂-1）³+5（a₂-1）=1，（a₂₀₁₀-1）³+5（a₂₀₁₀-1）=-1，可得
0＜a₂-1＜1，-1＜a₂₀₁₀-1＜0
两式相加可得并整理可得，（a₂+a₂₀₁₀-2）[（a₂-1）²+（a₂₀₁₀-1）²-（a₂-1）（a₂₀₁₀-1）+5]=0
由0＜a₂-1＜1，-1＜a₂₀₁₀-1＜0 
可得（a₂-1）²+（a₂₀₁₀-1）²-（a₂-1）（a₂₀₁₀-1）+5＞0
∴a₂+a₂₀₁₀=2
由等差数列的前n项和及等差数列的性质可得，S2011=

a1+a2011

2

×2011=

2011(a2+a2010)

2

=2011
故答案为：2；2011

点评：本题主要考查了等差数列的性质：若m+n=p+q 则a_p+a_q=a_n+a_m；等差数列的前n项和公式Sn=

n(a1+an)

2

，考查了推理运算的能力．